From: "W. Dale Hall" Subject: Re: degree (topological) of a map Date: 05 Dec 1999 14:01:56 EST Newsgroups: sci.math To: Elisha Kobre Keywords: What is the degree of a map and how is it used? Elisha Kobre wrote: > hi, > > can someone possibly e-mail me a definition of athe "degree" of as map. > I can't seem to find it in the literature. > > thnks > ek The definition of degree depends on the context; I'll provide the definition for the context I'm familiar with, that for mappings between manifolds. Given the map f: M --> N between closed, oriented manifolds of the same dimension, the degree of f is defined as f* [M] = deg(f) [N] where [M], [N] denote the fundamental classes in top-dimensional homology for M, N, respectively, and where f* denotes the induced homomorphism in homology. Just in case that definition failed to mean anything, here's another: The map f: M --> N (same context as before) has degree D iff, for each regular value y \in N of the map f, the sum of the local degrees at all pre-images of y (i.e., points x where f(x) = y) equals D. The local degree degx(f) is, for regular points x, equal to +1 if f preserves orientation, and equal to -1 if f reverses orientation. So, what is regular? A regular point for f is a point in the domain of f, for which the matrix of partial derivatives (partial fi/partial xj) is invertible; a regular value for f is a point y in the target space of f, for which every element of the pre-image f-1(y) is a regular point. I would have used the term range, except a point not in the range (but still in the space the map f points to) is considered a regular value. Crudely speaking, degree is a count of the size of the pre-image of a regular value. The count is signed for reasons that become evident if you work with it a while, and the constraint of working with regular values can be removed if you learn a broader definition of the notion of local degree. However, I'm sure I've exhausted the patience of any readers out there, so I'll let it go at that. For definitions: try Singer & Thorpe, "Lecture Notes onElementary Topology and Geometry", I think it's now published by Springer Verlag; Spivak, "Calculus on Manifolds", used to be published by Benjamin; Milnor, "Topology from the Differentiable Viewpoint", my version is University of Virginia Press (I'm sure someone else publishes in now), and Spanier, "Algebraic Topology", Springer Verlag. That's it for now. Dale. ============================================================================== From: jean-philippe.boucheron@libertysurf.fr (j-p boucheron) Subject: Re: topologie : la sphère S2 n'est pas Date: Sun, 28 Nov 1999 08:57:12 +0200 Newsgroups: sci.math.symbolic,fr.sci.maths Bruno BIGONNET wrote: > Où pourrais-je trouver une démonstration purement topologique de ce > résultat ? Contractile signifie, sauf erreur, que l'application id:S_2-->S_2 n'est pas homotope à une fonction constante. Voici comment on pourrait faire avec le cercle S_1, identifié par exemple aux complexes de module 1 (pour donner une idée) : Étant donnée une fonction continue f:S_1-->S_1, on définit un nombre entier, deg(f), le « degré de f » ainsi : on subdivise S_1 en arcs [z_1,z_2],...[z_n,z_{n+1}]=[z_n,z_1] (en convenant que "n+1=1") tous suffisamment petits pour que le diamètre de chaque ensemble f([z_k,z_{k+1}]) soit <1. Appelons A_k l'arc le plus court de S_1 joignant f(z_k) à f(z_{k+1}) ; on dit que A_k est « positif » s'il est orienté dans le même sens que S_1, « négatif » sinon. Maintenant, choisissons un Z élément de S_1\{ f(z_1),...,f(z_n)} et posons p(Z) le nombre des arcs A_k positifs dont Z est élément, et n(Z) le nombre des arcs A_k négatifs dont Z est élément. Alors le nombre deg(f)=p(Z)-n(Z) est indépendant du choix de la subdivision (z_1,...,z_n) et du choix ultérieur de Z. Intuitivement, deg(f) représente le nombre de tours accomplis par f(z) dans S_1 quand z tourne exactement une fois positivement. Notamment, si f(z)=z^m, m entier, alors deg(f)=m. En fait, si f est, par exemple, de classe C^1, alors deg(f)=int_{S_1} (f'/f)(z) dz. Or le point intéressant est que, si f,g:S_1-->S_1 sont deux fonctions continues, et si elles sont homotopes, alors def(f)=deg(g). Comme deg(id_{S_1})=1, alors que deg(constante)=0, il en résulte que S_1 n'est pas contractile. Ce que je viens de raconter ne sort pas de mon chapeau : en l'occurence, c'est la recopie de ce que raconte James Dugundji en introduction du chapitre XVI ("Maps into spheres") de son livre "Topology" (Wm. C. Brown Publishers, 1989 - ISBN 0-697-06889-7). Dans les pages qui suivent, il généralise très fidèlement la construction qui précède au cas d'applications S_n-->S_n. Le partage du cercle en petits arcs se généralise en une « triangulation de la sphère S_n » en simplexes sphériques orientés, et le degré d'une application f:S_n-->S_n se définit de manière analogue. Ça c'est la partie un peu lourde et pénible à lire... ensuite l'invariance du degré par homotopie se fait sans grande difficulté. Ensuite il y a plein de choses intéressantes, et qui se lisent plus aisément ; par exemple, le fait que S_n n'est pas contractile équivaut à chacun des deux énoncés : - il n'existe pas de rétraction continue B_{n+1}-->S_n (où B_{n+1} est la boule unité de R^{n+1}) ; - chaque application continue B_{n+1}-->B_{n+1} possède un point fixe. Et aussi, le théorème de (d'Alembert)-Gauss comme application de la non-contractilité de S_1, ou encore le théorème de Poincaré & Brouwer sur l'impossibilité de « peigner une sphère sans faire d'épi ». Comme P. Bernard, j'aimerais bien savoir s'il y a des démonstrations « non topologiques » de la non-contractilité de S_n (J. Dugundji laisse entendre qu'il existe d'autres méthodes ; pour ma part je ne les connais pas). -- jpb