From: Marcus Bezeck Subject: Re: symmetric positive matrix Date: Fri, 26 Mar 1999 08:07:50 -0600 Newsgroups: sci.math To: pascal ORTIZ Keywords: spectrum of a matrix of distances pascal ORTIZ wrote: > Let x_1,x_2,...,x_n be vectors in R^3 and the A=(d_ij) be a matrix with > d_ij=distance(x_i,x_j). > > A is a real symmetric (positive) matrix hence is a diagonalisable matrix. > > What is known about his spectrum and his eigenvectors ? > > (This question comes from an 'aggregats' problem .) > > Since nobody has responded to your post so far, I'll give you a quick explaination (because I think it is a very interesting question).The matrix is Hermitian (i.e. conjugate transpose(A)=A, which for a real matrix is satisfied if the transpose(A)=A). The strongest you can make about the eval spectrum for such a matrix is: 1) All of the evals of A are real 2) Number of non-zero evals = rank A BUT you are working with a special type of symmetric matrix. A matrix of distances for n vectors that embed in R3 has some additional properties (and these are the ones I think you are asking about). I don't have time right now to consider this problem, but I can give you some references and I could look at it later this week. This matrix is used a great deal in NMR in solving the solution structure of molecules. It is related to a matrix known as the Cayley-Menger matrix and there are a few people who have discussed these properties at greater length. The articles I have in mind are: a) A.L. Mackay - Acta Crystallog. A, vol. 30, pg. 440, 1974 b) G.M. Crippen, J. Comp. Phys. vol. 24, pg. 96, 1977 c) G.M. Crippen and T.F. Havel, Acta Crystallog. A, vol. 34, pg. 282, 1978 Right now there are 4 people currently working in this field: Andeas Dress (Mathematician in Germany - forgot where he's at), Gordon Crippen (U. Michigan - Dept of Pharmacology), Timothy Havel (Harvard Med School) and Thomas Hayden (U. Kentucky Math Dept) I think these articles will give you what you need. If they don't e-mail me and I'll look at the problem further (since I like the problem). Good luck, Marcus My French is not that good but here is the same thing in French below (as best I could do) Puisque personne n'a répondu à votre poteau jusqu'ici, je vous donnerai un explaination rapide (parce que je pense que c'est une question très intéressante). La matrice est hermitienne (c.-à-d. transpose(A)=A conjugué, qui pour une vraie matrice est satisfait si le transpose(A)=A). Le plus fort que vous pouvez faire au sujet du spectre eval pour une telle matrice est: 1) tous les evals de A sont vrai 2) nombre des evals = du grade différents de zéro A MAIS vous travaillez avec un type spécial de type de matrice symétrique. Une matrice des distances pour les vecteurs de n qui encastrent dans R3 a quelques propriétés supplémentaires (et ces derniers sont celles que je pense que vous demandez environ). Je n'ai pas le temps en ce moment pour considérer ce problème, mais je puis vous donner quelques références et je le regarderai plus tard cette semaine. Cette matrice est utilisée beaucoup dans NMR en résolvant la structure de solution des molécules. On le lie à une matrice connue sous le nom de matrice de Cayley-Menger et il y a peu de gens qui ont discuté ces propriétés plus en détail. Les articles que j'ai à l'esprit sont: a) A.L. Mackay - Acta Crystallog. A, vol. 30, pg. 440, 1974 b) G.M. Crippen, J. Comp. Phys. vol. 24, pg. 96, 1977 c) G.M. Crippen and T.F. Havel, Acta Crystallog. A, vol. 34, pg. 282, 1978 Je pense que ces articles vous donneront de ce que vous avez besoin. S' ils pas E-mail j'et je regarderai le problème plus plus loin (puisque j'aime le problème). Bonne chance, Marcus